Rozwiązania uogólnione równań różniczkowych

Niech \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie zadanym zbiorem otwartym, a \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) liczbą naturalną. Dla \( \hskip 0.3pc 1\leq p <\infty\hskip 0.3pc \) oznaczmy przez \( \hskip 0.3pc W^{m,p}(\Omega)\hskip 0.3pc \) przestrzeń wszystkich funkcji \( \hskip 0.3pc u:\Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) lokalnie całkowalnych i takich, że dla dowolnego wielowkaźnika
\( \hskip 0.3pc k=(k_1, \ldots ,k_n)\hskip 0.3pc \) takiego, że \( \hskip 0.3pc | k|= k_1+\ldots +k_n \leq m,\hskip 0.3pc \) pochodna \( \hskip 0.3pc D^{ k}u\hskip 0.3pc \) istnieje (w sensie dystrybucyjnym ) i należy do przestrzeni \( \hskip 0.3pc L^p(\Omega).\hskip 0.3pc \) Dla \( \hskip 0.3pc u\in W^{m,p}(\Omega)\hskip 0.3pc \) połóżmy

\( \|u\|_{{m,p}}=\Big (\displaystyle\sum_{| k|\leq m}\displaystyle\int_{\Omega}|D^{ k}u|^pdx\Big)^{1/p}. \)

0kazuje się, że tak określona wielkość \( \hskip 0.3pc \|\cdot \|_{{m,p}}\hskip 0.3pc \) jest normą, a przestrzeń \( \hskip 0.3pc W^{m,p}(\Omega)\hskip 0.3pc \) wyposażona w tę normę jest przestrzenią Banacha. Szczególnie interesujący jest przypadek \( \hskip 0.3pc p=2.\hskip 0.3pc \) Przestrzeń

\( H^m(\Omega) = W^{m,2}(\Omega) \)

jest przestrzenią Hilberta.
Zauważmy, że \( \hskip 0.3pc H^0\supset H^1\supset H^2\supset \ldots. \hskip 0.3pc \) Przestrzenie te odgrywają w teorii równań różniczkowych szczególną rolę.
Zauważmy jeszcze, że zbieżność ciągu \( \hskip 0.3pc \{u_i\}\hskip 0.3pc \) do funkcji \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc H^1\hskip 0.3pc \) oznacza, że:

\( \hskip 0.3pc u_i \to u\hskip 1pc {\rm oraz} \hskip 1pc \dfrac{\partial u_i}{\partial x_j}\to \dfrac{\partial u}{\partial x_j}\hskip 1pc {\rm w} \hskip 0.5pc L^2\hskip 0.5pc dla \hskip 1pc j=1, \ldots ,n. \)

Zbieżność w \( \hskip 0.3pc H^2\hskip 0.3pc \) oznacza, że funkcje oraz ich pierwsze i drugie pochodne są zbieżne w normie przestrzeni \( \hskip 0.3pc L^2.\hskip 0.3pc \)

Przykład 1:

a) Funkcja \( \hskip 0.3pc x\mapsto |x|\hskip 0.3pc \) należy do \( \hskip 0.3pc H^1(-1,1).\hskip 0.3pc \)
Istotnie, zarówno funkcja jak i jej pochodna \( \hskip 0.3pc x\mapsto {\rm sign}\, x\hskip 0.3pc \) należą do przestrzeni \( \hskip 0.3pc L^2(-1,1).\hskip 0.3pc \)

b) Funkcja \( \hskip 0.3pc x\mapsto {\rm sign}\, x\hskip 0.3pc \) nie należy do \( \hskip 0.3pc H^1(-1,1).\hskip 0.3pc \)
Istotnie, jej pochodna, która wynosi \( \hskip 0.3pc 2\delta\hskip 0.3pc \), nie jest elementem przestrzeni \( \hskip 0.3pc L^2(-1,1).\hskip 0.3pc \)

c) Funkcja \( \hskip 0.3pc x\mapsto x^{\alpha }\hskip 0.3pc \) należy do \( \hskip 0.3pc H^1(0,1)\hskip 0.3pc \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \hskip 0.3pc \alpha >1/2.\hskip 0.3pc \)
Istotnie, jej pochodna \( \hskip 0.3pc x\mapsto \alpha x^{\alpha -1}\hskip 0.3pc \) jest elementem przestrzeni \( \hskip 0.3pc L^2(0,1)\hskip 0.3pc \) wtedy i tylko wtedy gdy \( \hskip 0.3pc \alpha >1/2.\hskip 0.3pc \)

Rozważmy równanie Poissona

(1)

\( \Delta u =f. \)

Przyjmując, że \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją, możemy rozwiązania tego równania szukać w zbiorze dystrybucji. Otrzymamy wówczas tzw. rozwiązania dystrybucyjne. Możemy też podejść do tego problemu nieco delikatniej, wprowadzając tzw. rozwiązania uogólnione ( słabe).

Niech \( \hskip 0.3pc f \in C(\Omega).\hskip 0.3pc \) Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc u\in C^2(\Omega)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem klasycznym równania ( 1 ), a \( \hskip 0.3pc \upsilon\hskip 0.3pc \) oznacza unormowany wektor normalny do \( \hskip 0.3pc \partial \Omega.\hskip 0.3pc \) Dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega)\hskip 0.3pc \) zgodnie z wzorem 6 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena" mamy

\( \displaystyle\int_{\Omega}\varphi \Delta u \,dx =\displaystyle\int_{\partial\Omega}\varphi\dfrac{\partial u}{\partial \upsilon}\,dS- \displaystyle\int_{\Omega}\nabla \varphi \cdot\nabla u \,dx = -\displaystyle\int_{\Omega}\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial \varphi }{\partial x_i} \dfrac {\partial u}{\partial x_i}\,dx \)

(skorzystaliśmy tutaj z faktu, że \( \hskip 0.3pc \varphi (x)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x\in \partial\Omega.\hskip 0.3pc \)) Stąd i ( 1 ) otrzymamy

(2)

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\int_{\Omega} \dfrac{\partial \varphi }{\partial x_i} \dfrac{\partial u}{\partial x_i}\,dx+ \displaystyle \int_{\Omega}\varphi fdx=0. \)

Równość ( 2 ) zachodzi dla każdego rozwiązania \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) równania (1). Co więcej, ma ona również sens nawet wówczas, gdy \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) nie jest rozwiązaniem klasycznym, np. nie posiada pochodnych drugiego rzędu w sensie klasycznym. Równość ta sugeruje następującą definicje :

Definicja 1:

Niech \( \hskip 0.3pc u\in H^1(\Omega),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc f\in C(\Omega).\hskip 0.3pc \) Jeśli dla każdej funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega)\hskip 0.3pc \) zachodzi równość ( 2 ), to mówimy, że \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem uogólnionym (lub słabym) równania ( 1 ).

Jeśli \( \hskip 0.3pc u\in C^2(\Omega)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem słabym, przy czym \( \hskip 0.3pc f\in C(\Omega),\hskip 0.3pc \) to można pokazać - wykorzystując wzory Greena - że \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest także rozwiązaniem równania ( 1 ) w sensie klasycznym. Na zakończenie chcemy zwrócić uwagę, że naszkicowana powyżej idea rozwiązań słabych we współczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych została szeroko wykorzystana i rozbudowana.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Rozwiązania uogólnione równań różniczkowych

Przykład 1:

Definicja 1: